{the magic lies between the brackets}

Schlagwort: Studium (Seite 1 von 1)

Allgemein gültige Lösung für Zahlenketten vom Typ (x+iy) bei i <= 4

Man kam auf mich zu mit einer Knobelaufgabe der siebten Klasse und wollte von mir die Lösung für diese Frage bzw. Aufgabe wissen.
Aufgabe:
Gegeben sei eine Zahlenkette mit der „Startzahl“ x. Diese wird viermal mit der „Additionszahl“ y multipliziert.
Die Summe der Einzelergebnisse ist der Wert S.

Bsp.

math_990_2570d0efd9719cda8b93b62afdb66550

Frage:
Was ist eine Lösung für S = 100 und S = 66?

Lösungsansatz:

Zerbröseln wir einmal das ganze. Wenn man die obere Zahlenkette anschaut, so kann man sehen, dass

3(=x)   5(=x+y)    7(=x+2y)   9(=x+3y)   11(=x+4y) = S für x = 3, y = 2

x + (x+y) + (x+2y) + (x+3y) + (x+4y) = S

Nun kann man diese Funktion auch so schreiben: math_975.5_d9ea1843b3d8b23abc6979ff78d90fdf

 Durch Ausaddieren aller Werte, ergibt sich: 5x + 10y = S

Durch Umstellung ergeben sich folgende Werte: math_983_c4a9c5d5aca00bfc06d62c8d2641ac4a (1) und math_983_8ca5deb2bad2fb104d082274710eae66 (2)

Aus (2) in (1) folgt: y= math_983_6bd8c2a034b85ef49d5fed12d5ecb4e8

Aus (1) in (2) folgt: x= math_983_fd15c3a41dec083cf95a625f18aadaf9

Setzt man (1) und (2) nun wieder in die Funktion ein, so erhält man:

math_962_7b3b7172a00785dcbbbd15db86448ee2

Will man bspw. einen Wert für x wissen für die Summe 100, so nimmt man folgende Formel:
math_983_3bdbf171fee2a606058c9a1f8daaa7c4
x in (1):
math_983_ac92172b5553ddb7f0b67c5d2c789618 oder allg. math_983_6e416c20a08e1127fbb98cefed01f3ec

Die Lösungsmesse für für x und y bei S = 100 ist also:

L = {x = 10; y = 5}

Für 66 erhält man die Lösung:

L = {x = 6,6; y = 3,3}

Dies kann man jetzt noch weiterspinnen und den Parameter i ohne Zahlenwerte belassen, sodass wir eine allgemingültige Lösung für alle Zahlenketten bekommen.

Dies tun wir jetzt auch:

math_976_6943eda49eb15da2814e06b72938246c

Dies können wir nun nach y auflösen:

math_971_2ff9a81f9f4d6ac1b055cad7ad636c88(1)

math_971_a77e678ba05def2c4febe9079f424c84(2)

Nun (1) in (2) einsetzen und vice versa und man hat die Formeln für x und y unabhängig von den gegebenen Parametern y und x.

Fertig, abschließend einfach die Aufgabenwerte einsetzen.

Wieso in der Mathematik 0,(9) also 0,999999…. exakt 1 ist

Im Zuge meines Studiums bin ich mit der weniger bekannten Tatsache konfrontiert worden, dass math_992.5_3293f03d5fcefabfff40f26cba81fa27, also math_994_5a60d4a104cfbb73fb653d27f231a4b8 exakt gleich 1 ist.
Wieso?

Stellen wir uns einmal diese Zahl vor:
math_994_5a60d4a104cfbb73fb653d27f231a4b8 ist eigentlich die Summe folgender Summanden:
math_992.5_16248d0326f7c946d02d1e0365999079

Mathematisch kann man dies wie folgt darstellen:

math_986.5_ff8698b18595ded77a7f12c7a32c3d22
oder
math_971_e51f70a143516b47f49a91deb38a5f42
Definition:
math_994_aab1f016985f49f4f38239b6ca425f66

math_983_881ba45f62a37cee7193169b3be411f1
Daraus folgt (geometrische Reihe): math_980_c595caa0af46846044fd1eb9fa4e3d41

Falls es jemand nicht direkt versteht: Was sind   1/3 dezimal geschrieben?
Richtig, 0,(3) bzw. 0,3333333333333…
Jetzt multiplizieren wir diesen Wert mit (1/3) * 3 = 3/3 = 1
Aber  0,333333… * 3 = 0,999999… = 0,(9)
Dies ist zwar jetzt nicht der Beweis, aber zeigt der Person anschaulich die Problematik.

Überrascht? Das war ich auch.
Aber dies erklärte meine Frage zur Integralrechnung, wieso der Flächeninhalt – math_975.5_0d4b644471f5b3248872fc21e3e6fc59  – von t∈[1,2) <Grenzwerte: einschl. 1 bis ausschließlich 2> gleich dem Flächeninhalt von t∈[1,2] <Grenzwerte: einschl. 1 bis einschließlich 2> ist.